八月十五日夜湓亭望月诗人的故乡在 山西太原。以下是具体解析：

诗人背景

该诗作者为唐代诗人白居易，其被贬为江州司马期间创作了此诗。

故乡的地理指向

诗中“西北望乡何处是”明确表达了诗人的思乡之情。结合白居易的生平经历，其故乡为山西太原，而湓浦位于今江西省九江市，诗中通过“今年”与“昔年”的对比，凸显了被贬谪后的孤寂与对故居的追思。

创作背景补充

白居易因参与政治斗争被贬江州（今江西九江），此诗正是在流放期间所作，进一步印证了故乡为太原的推断。

综上，白居易在湓浦望月时，心中的故乡指向明确为山西太原。